Constructivismo y Formalismo:
\nDos formas diferentes de ver la matem\u00e1tica<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 En las pr\u00f3ximas l\u00edneas hablaremos de dos tendencias que han coexistido a lo largo de la historia de las Matem\u00e1ticas y que a lo largo de ella han aparecido enfrentadas la una con la otra, hablamos del constructivismo y del formalismo.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Desde la \u00e9poca de Arist\u00f3teles y Plat\u00f3n se ha cre\u00eddo que las matem\u00e1ticas existen con independencia del conocimiento humano y que son una verdad absoluta, y as\u00ed, el trabajo de los matem\u00e1ticos era el descubrir esa verdad. Pero antes de dar ninguna opini\u00f3n veamos como se desarroll\u00f3 esta idea a lo largo de la historia.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 El embrollo viene cuando algunos matem\u00e1ticos niegan esta idea de matem\u00e1ticas independientes del conocimiento humano. As\u00ed, un matem\u00e1tico alem\u00e1n llamado Leopold Kronecker escribi\u00f3: “Dios cre\u00f3 los n\u00fameros enteros y todo lo dem\u00e1s es obra del hombre”. Seg\u00fan el, el trabajo de los matem\u00e1ticos ya no es descubrir, sino inventar. Esta es la principal idea de la llamada matem\u00e1tica constructivista, que afirma que para probar la existencia de un objeto matem\u00e1tico existe es necesario mostrar como puede construirse. El fil\u00f3sofo Immanuel Kant afirm\u00f3 en el s.XVII que la raz\u00f3n ultima de veracidad en la matem\u00e1tica resid\u00eda en el hecho de que sus nociones puedan ser construidas por la mente humana.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Sobre todo, la idea matem\u00e1tica que a producido mayor controversia en la historia de las matem\u00e1ticas ha sido la noci\u00f3n de infinito.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Ya los griegos procedieron con extrema cautela en lo concerniente al infinito. Euclides, al referirse a rectas se refer\u00eda a segmentos cuya longitud la podemos hacer todo lo larga que queramos, y esta es la noci\u00f3n de infinito potencial. Podemos pensar tambi\u00e9n que existen en verdad rectas infinitamente largas que es la noci\u00f3n de infinito actual y es metaf\u00edsicamente muy distinta a la anterior.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Esta noci\u00f3n de infinito actual no es utilizada por los matem\u00e1ticos hasta bien entrada la era moderna de la matem\u00e1tica que comienza en el s.XVII cuando Ren\u00e9 Descartes y Pierre de Fermat introducen las coordenadas cartesianas produciendo un cambio fundamental en el desarrollo de las matem\u00e1ticas: los objetos empiezan a ser n\u00fameros y no longitudes.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz desarrollan a partir de ese cambio el c\u00e1lculo diferencial, que maneja n\u00fameros infinitamente peque\u00f1os pero distintos de cero.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Pero este descubrimiento produjo serias discusiones con los matem\u00e1ticos de la \u00e9poca y pas\u00f3 alg\u00fan tiempo hasta que estos vieron su innegable utilidad y comenzaron a aceptarlo, aunque dudando de su base filos\u00f3fica.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Aun as\u00ed, toda esta controversia produjo a finales del s.XIX una de las teor\u00edas m\u00e1s importantes (y porqu\u00e9 no decirlo, m\u00e1s discutidas) de la historia de las matem\u00e1ticas: la teor\u00eda de conjuntos, que fue desarrollada sobre todo por el matem\u00e1tico Georg Cantor.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Cantor defini\u00f3 los conjuntos como colecciones de objetos reales o abstractos. Idea que tuvo grandes consecuencias sobre la noci\u00f3n de infinito, ya que hay conjuntos que por su naturaleza son infinitos actuales, como por ejemplo R .<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 El estudio de estos objetos condujo a Cantor a la conclusi\u00f3n de que igual que var\u00eda la cardinalidad de los conjuntos finitos, tambi\u00e9n var\u00eda la de los conjuntos infinitos, por ejemplo, R y N no tienen la misma cardinalidad ya que R es “m\u00e1s infinito” que N . Cantor demostr\u00f3 tambi\u00e9n que para cada conjunto infinito, existe otro de mayor cardinalidad. Y aunque ahora nos parezca extra\u00f1o, muchos matem\u00e1ticos de la \u00e9poca encontraron absurda la noci\u00f3n de conjunto infinito como ente individual.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 No obstante, todav\u00eda produjo m\u00e1s esc\u00e1ndalo las aplicaciones que Cantor dio a los conjuntos infinitos. Una de ellas fue el procedimiento que ide\u00f3 para demostrar que existen infinitos n\u00fameros transcendentes, esto es, n\u00fameros que no verifican ninguna ecuaci\u00f3n de la forma :<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0 con ai\u00ce Z ” i<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Demostr\u00f3 primero que el conjunto de los n\u00fameros algebraicos (los que si verifican alguna de las ecuaciones anteriores) es infinito numerable y luego supuso que el conjunto de los n\u00fameros trascendentales tambi\u00e9n es infinito numerable, pero como R es infinito no numerable, lleg\u00f3 a una contradicci\u00f3n.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Esta forma de demostraci\u00f3n por reducci\u00f3n al absurdo fue criticada por Kronecker y sus seguidores ya que demostraba existencia sin construcci\u00f3n, y seg\u00fan ellos, para establecer la existencia de un objeto era necesaria la construcci\u00f3n de este, es decir, era necesario un procedimiento por el cual el objeto fuese construido al menos en principio, aunque no era necesario que tal procedimiento fuese llevado a la pr\u00e1ctica, lo \u00fanico que ped\u00eda era que la construcci\u00f3n fuese llevada a cabo en un n\u00famero finito de pasos y que en cada paso no hubiese ninguna duda de como se proceder\u00eda en el paso siguiente. No hace falta decir que Cantor no cumpl\u00eda ninguno de estos requisitos en su demostraci\u00f3n ya que no generaba en ella ning\u00fan n\u00famero trascendental.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 La demostraci\u00f3n que di\u00f3 Cantor fue la primera de las llamadas demostraciones de pura existencia. \u00c9l establec\u00eda la existencia de los n\u00fameros trascendentales demostrando que la no existencia nos llevaba a una contradicci\u00f3n. Estas demostraciones por reducci\u00f3n al absurdo eran aceptadas por todos los matem\u00e1ticos si se trataban de conjuntos finitos ya que se pod\u00eda mostrar cualquier objeto inspeccionando todos los miembros del conjunto, pero esto no es posible para un conjunto infinito como el de los n\u00fameros trascendentales y este es el motivo por el cual muchos matem\u00e1ticos no aceptaban la demostraci\u00f3n de Cantor.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Pero entonces apareci\u00f3 el bueno de David Hilbert y lo hizo todav\u00eda m\u00e1s dif\u00edcil, ya que en 1889 public\u00f3 una demostraci\u00f3n de pura existencia en la que demostraba la existencia de ciertos objetos que nadie ha visto jam\u00e1s y de los que no se tiene la menor idea de construirlos.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Tras la muerte del Kronecker en 1891, la teor\u00eda de conjuntos fue produciendo valiosos resultados, y la lucha que manten\u00edan los matem\u00e1ticos constructivistas contra los m\u00e9todos de Cantor y luego Hilbert se fue haciendo cada vez m\u00e1s d\u00e9bil hasta que apareci\u00f3 en escena el matem\u00e1tico L.E.J. Brouwer. Este opinaba que hab\u00eda que hacer distinci\u00f3n entre la existencia real, constructiva y la existencia pura o de lo contrario las matem\u00e1ticas llegar\u00edan a carecer de significado.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Brouwer no negaba la posibilidad de demostrar la existencia de objetos que no pueden se construidos, el afirmaba que si les damos la misma validez que a los objetos reales, es decir, finitamente construidos, entonces las matem\u00e1ticas serian inciertas. Seg\u00fan el, no podemos aplicar la ley aristot\u00e9lica del tercero excluido a los conjuntos infinitos.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 A partir de 1900, seg\u00fan se reorganizaba las matem\u00e1ticas sobre los fundamentos de la teor\u00eda de conjuntos aparecieron algunas paradojas que indicaban que los fundamentos teorico-conjuntistas de las matem\u00e1ticas deb\u00edan de tener defectos y, seg\u00fan Brouwer, estos defectos eran debidos a la introducci\u00f3n por parte de Cantor de objetos ideales. Brouwer propuso que todas las matem\u00e1ticas hasta entonces fuesen reconstruidas seg\u00fan procedimientos constructivistas. A esta corriente se la denomin\u00f3 intuicionismo.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Muchos matem\u00e1ticos, incluidos algunos seguidores de Brouwer eran susceptibles a esta nueva corriente ya que daba al traste con todo lo descubierto hasta entonces.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Hilbert ide\u00f3 otro plan llamado formalismo. Seg\u00fan el, aunque los objetos ideales carecieran de significado, de estos se podr\u00edan deducir objetos y teoremas que si tuviesen significado. El sistema ideado por Hilbert requer\u00eda presentar la matem\u00e1tica como un sistema formal axiom\u00e1tico utilizando las reglas de la l\u00f3gica, as\u00ed, todo razonamiento que pudiera provocar paradojas quedar\u00eda al descubierto. Con todo esto, Hilbert introdujo la llamada teor\u00eda de la demostraci\u00f3n (o tambi\u00e9n metamatem\u00e1tica).<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 A\u00fan as\u00ed, Brouwer no qued\u00f3 satisfecho y prosigui\u00f3 con sus intentos de demostrar que las matem\u00e1ticas se pod\u00edan realizar de forma constructivista.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Y aunque en 1931, Kurt G\u00f6del demostrase que el esquema formalista de Hilbert estaba condenado al fracaso, era tal la aceptaci\u00f3n que ten\u00eda el formalismo que era imposible su rechazo. Hoy en d\u00eda, la mayor\u00eda de los matem\u00e1ticos prefieren la elegancia del formalismo de Hilbert al intuicionismo de Brouwer.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 No obstante, el debate sobre algunos aspectos de la teor\u00eda de conjuntos (y en especial sobre el axioma de elecci\u00f3n) est\u00e1 produciendo un renacido inter\u00e9s sobre las ideas constructivistas. Este inter\u00e9s ha sido impulsado sobre todo por Errett Bishop, que en 1967 public\u00f3 su libro The Foundations of Constructive Mathematics. El trabajo de Bishop pone en relieve que los m\u00e9todos constructivistas pueden ser tan beneficiosos como los m\u00e9todos formalistas para el desarrollo de las matem\u00e1ticas.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 La principal diferencia entre Bishop y Brouwer es que el primero no rechaza la teor\u00eda de conjuntos de Cantor, sino que intenta modificarla para dotarla de validez constructivista. Seg\u00fan esto, el axioma de elecci\u00f3n, que fue el m\u00e1s criticado de la teor\u00eda de conjuntos de Cantor por Brouwer y sus seguidores, es ahora totalmente aceptada.<\/p>\n
\u00a0 \u00a0 Seg\u00fan Bishop, tan pronto se viesen claramente las ventajas de su programa, las matem\u00e1ticas modernas dejar\u00edan de existir y pasar\u00edan a ser parte de las matem\u00e1ticas constructivistas, y la raz\u00f3n es que, a fin de cuentas, en matem\u00e1tica aplicada lo importante es encontrar la soluci\u00f3n a cierto problema y no solo saber su existencia.<\/p>\n
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